Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Двойной интеграл в полярных координатах Объём цилиндрического тела. Сферические координаты

Математика курс лекций, примеры решения задач

Дифференцирование ФКП. Аналитические ФКП

Производной от функции комплексной переменной w = f (z) в точке z0 называется предел:

,

где , и  произвольным образом.

Функцию w = f (z), дифференцируемую в точке z0 и некоторой ее окрестности, называют аналитической, или регулярной функцией в точке z0.

 Точки, в которых ФКП не является аналитической, называют особыми точками этой функции. Интегральное исчисление

Для того, чтобы функция f (z) = u(x, y) +iv(x, y) была аналитической в области D необходимо и достаточно, чтобы частные производные 1-го порядка функций u(x, y)  и v(x, y) были непрерывны в этой области и выполнялись бы условия:

,  (10)

называемые условиями Эйлера-Даламбера, или условиями Коши-Римана.

Пример 2. Проверить аналитичность ФКП .

  Þ u = x2 – y2 – 2x; v = 2xy + 2y (см. пример 1). Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия (10) не выполняются, следовательно, эта функция не является аналитической.

Пример 3. Проверить аналитичность ФКП .

Выделим действительную и мнимую части функции:

.

Проверим выполнение условий Коши-Римана:

.

Условия выполняются во всех точках, кроме особой точки (0, 0), в которой функции и u(x, y) и v(x, y) не определены. Следовательно, функция   аналитическая при .

Если функция w = f (z) аналитическая в области D, то ее производную   можно найти, используя правила дифференцирования, аналогичные правилам дифференцирования функции одной действительной переменной.

Пример 4. Вычислить значение производной функции  в точке

z0 = – 1+ i.

Функция  – аналитическая, а значит, дифференцируемая во всей своей области определения (см. пример 3). Ее производная:

.

Вычислим значение производной в точке z0 = – 1+ i:

Следовательно, .

Справочный материал к выполнению контрольной работы №2

Функцию w = f (z) можно представить в виде

Здесь внутренний интеграл вычисляется по переменной x в предположении, что y = const; результатом вычисления внутреннего интеграла является некоторая функция от y, которая затем интегрируется в постоянных пределах.

Если область D – правильная в обоих направлениях, то повторный интеграл не зависит от порядка интегрирования, и для вычисления двойного интеграла можно использовать любой из двух порядков интегрирования:

.

  Если область D – неправильная в обоих направлениях, то ее можно разбить на правильные части и воспользоваться свойством аддитивности двойного интеграла: .

Вычисление двойного интеграла в полярных координатах

f (z) = u(x, y) + iv(x, y),

где u(x, y) – действительная часть ФКП, v(x, y) – мнимая часть ФКП, обе они – действительные функции от x, y.

Пример 1. . Здесь  = x – iy – число, сопряженное числу z= x+iy.

Выделим действительную и мнимую части ФКП:

Некоторые приложения двойных интегралов

  Если подынтегральная функция f (x, y) º 1, то двойной интеграл от функции f (x, y) по области D равен площади области интегрирования:

.

Если область D занята тонкой пластинкой и  – поверхностная плотность распределения неоднородного материала (т.е. масса единицы площади), то при помощи двойного интеграла можно вычислить массу пластинки, ее статические моменты относительно осей координат и другие величины.

Масса пластинки: m = .

Статический момент относительно оси Ox:

.  (11)

Статический момент относительно оси Oy: My = .

Все перечисленные интегралы можно вычислить в декартовых либо в полярных координатах, переходя к соответствующему повторному интегралу.

Тройной интеграл

Некоторые приложения тройных интегралов

 Если подынтегральная функция f (x, y, z) º 1, то тройной интеграл от нее по области V равен мере области интегрирования – объему пространственного тела, занимающего область V: .

Если  – это плотность неоднородного материала (т.е. масса единицы объема), из которого изготовлено тело, то при помощи тройного интеграла можно вычислить массу тела, его статические моменты относительно координатных плоскостей и другие величины. Например, формула для вычисления массы тела имеет вид:

.  (12)

Криволинейный интеграл II рода (по координатам)

Общий вид криволинейного интеграла II рода (по координатам):

,

где BC – это дуга пространственной линии от точки B до точки C с указанным на ней направлением,  P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) – некоторые функции, заданные во всех точках дуги BC.

В двумерном случае: , где BCxOy.

Если P (x, y), Q (x, y) – проекции на оси Ox и Oy вектора переменной силы , то

 А = (13)

– это работа силы  при перемещении точки ее приложения вдоль участка дуги BC.

Векторная функция скалярного аргумента

Если каждому значению параметра t из некоторого промежутка  ставится в соответствие по некоторому правилу определенный вектор, то говорят, что задана вектор-функция скалярного аргумента t: .

Откладывая векторы  при  от начала координат, получаем траекторию движения конца вектора, называемую годографом вектор-функции .

Проекции вектора  на оси координат являются функциями аргумента t, поэтому можно записать вектор-функцию в координатной форме:

,

где векторы  – это орты координатных осей Ox, Oy и Oz.

Первую, вторую и т.д. производные вектор-функции  находят дифференцированием ее проекций x(t), y(t) и z(t) по аргументу t:

,


Тройной интеграл в сферических координатах