Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Двойной интеграл в полярных координатах Объём цилиндрического тела. Сферические координаты

Математика курс лекций, примеры решения задач

Векторное поле

5.1. Поток векторного поля через поверхность

Если в любой точке M(x, y, z) области VxOyz задан вектор , то говорят, что в области V задано векторное поле .

Примеры: силовое поле , поле скоростей  текущей жидкости, поле электростатических напряженностей .

Векторное поле является заданным, если задана векторная функция   от координат точки M(x, y, z). Как правило, функцию задают в виде , где P (x, y, z), Q (x, y, z),  R (x, y, z) являются функциями, о которых предполагают, что они непрерывны и имеют непрерывные частные производные по x, y, z в области V (область V может совпадать со всем пространством).

Аналогично определяют плоское векторное поле  в двумерной области D: .

Пусть в области VxOyz задана двусторонняя поверхность σ, в каждой точке которой определен орт внешней нормали  – единичной вектор, коллинеарный нормали к поверхности в этой точке и направленный в сторону, которую условились считать «внешней» стороной поверхности.

Поток векторного поля  через поверхность σ – это интеграл по поверхности σ от скалярного произведения вектора  на орт нормали  к поверхности (рис. 6):

.

Поток – это интегральная характеристика векторного поля, она является скалярной величиной. Например, для поля скоростей  текущей жидкости поток характеризует количество жидкости, проходящей через поверхность σ в направлении «внешней» нормали в единицу времени.

Если поверхность σ задана уравнением F(x, y, z) = 0, то вектор ее нормали коллинеарен градиенту функции, задающей поверхность: , следовательно, орт нормали

 .

Для вычисления поверхностного интеграла  поверхность σ проектируют на одну из координатных плоскостей, например, в область DxOy. Тогда , и вычисление потока сводится к вычислению двойного интеграла:

,  (16)

где знак «+» следует брать в случае, когда вектор  и орт «внешней» нормали , указанный в задаче, совпадают по направлению; если эти векторы противоположны по направлению, следует брать знак «–».

 При вычислении двойного интеграла  нужно подынтегральную функцию выразить через переменные x, y, используя заданное уравнение поверхности F(x, y, z) = 0.

Поток вектора через замкнутую поверхность σ в направлении ее «внешней» нормали обозначают .

Формула Остроградского-Гаусса. Дивергенция

Формула Остроградского-Гаусса устанавливает связь между интегралом по замкнутой поверхности σ в направлении ее «внешней» нормали и тройным интегралом по области V, ограниченной этой поверхностью:

.

Пусть  – векторное поле, заданное в области VxOyz . Дивергенцией векторного поля  называется скалярная функция

, (17)

Соленоидальное векторное поле

Векторное поле  называется соленоидальным, если существует такое векторное поле , для которого поле является полем его роторов: .

Поле  называется векторным потенциалом векторного поля .

Практически соленоидальность векторного поля определяется при помощи его дивергенции: если во всех точках односвязной области V дивергенция векторного поля равна нулю, то это векторное поле является соленоидальным.

Решение примерного варианта контрольной работы №1

Задача 1. Дана функция z = cos2(2x – y). Требуется:

1) найти частные производные  и ;

2) найти полный дифференциал dz;

3) показать, что для данной функции справедливо равенство: .

Задача 2. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x = 0.

Решение.

Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

Для F(x, y, z) = 4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x получаем:

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =

= 8xyez + sin(x3 – z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3 – z) + 3;

F= (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =

= 4x2ez + 4y;

F = (4x2yez – cos(x3 – z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =

= 4x2yez – sin (x3 – z).

По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

Задача 4. Дана функция двух переменных: z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1,

x + y = 3. Требуется:

1) найти наибольшее и наименьшее значения функции z в области D;

2) сделать чертеж области D в системе координат, указав на нем точки, в которых функция имеет наибольшее и наименьшее значения.

Решение.

Для наглядности процесса решения построим область D в системе координат. Область D представляет собой треугольник, ограниченный прямыми x = 0, y = –1 и x + y = 3. Обозначим вершины треугольника: A, B, C (рис 9).

Чтобы найти наибольшее и наименьшее значения функции z, сначала найдем все стационарные точки функции z = x2 – xy + y2 – 4x + 2y + 5, лежащие внутри области D (если они есть), и вычислим в них значения функции.

Стационарные точки – это точки, в которых все частные производные

Задача 5. Поверхность σ задана уравнением z =  + xy – 5x3. Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x0, y0, z0), принадлежащей ей, если x0 = –1, y0 = 2.

Решение.

Уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ получим, используя формулы (5) и (6). Найдем частные производные функции

z = f (x, y) =  + xy – 5x3:

(x, y) = ( + xy – 5x3) = –  + y – 15x2;

(x, y) = ( + xy – 5x3) =  + x.

Точка М0(x0, y0, z0) принадлежит поверхности σ, поэтому можно вычислить z0, подставив заданные x0 = –1 и y0 = 2 в уравнение поверхности:

z =  + xy – 5x3  z0 =  + (–1) 2 – 5 (–1)3 = 1.

Вычисляем значения частных производных в точке М0(–1, 2, 1):

.

Задача 6. Дано плоское скалярное поле U = x2 –2y, точка М0(1,–1) и вектор . Требуется:

1) найти уравнения линий уровня поля;

2) найти градиент поля в точке M0 и производную  в точке M0 по направлению вектора ;

3) построить в системе координат xОy 4-5 линий уровня, в том числе линию уровня, проходящую через точку M0, изобразить вектор  на этом чертеже.

Задача 7. Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i. Требуется:

представить функцию в виде w = u(x, y) +iv(x, y), выделив ее действительную и мнимую части;

проверить, является ли функция w аналитической;

в случае аналитичности функции w найти ее производную w′ в точке z0.

Решение.

1) Выделим действительную и мнимую части функции:

.


Тройной интеграл в сферических координатах