Вычисление тройного интеграла в декартовых и других координатах Двойной интеграл в полярных координатах Объём цилиндрического тела. Сферические координаты

Математика курс лекций, примеры решения задач

Задача. Найти частные производные  и , если переменные x, y, и z связаны равенством 4x2 y ezcos(x3z) + 2y2 + 3x = 0.

Решение.

Имеем равенство вида F(x, y, z) = 0, задающее неявно функцию 2-х переменных. Для вычисления частных производных можно использовать формулы (2) и (3).

Для F(x, y, z) = 4x2yezcos(x3z) + 2y2 + 3x  получаем:

F= (4x2yez cos(x3z) + 2y2 + 3x) = [считаем y и z постоянными] =

= 8xyez + sin(x3z)3x2 + 3 = 8xyez + 3x2sin( x3z) + 3;

F= (4x2yez cos(x3z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и z постоянными] =

= 4x2ez + 4y;

F = (4x2yez cos(x3z) + 2y2 + 3x) = [считаем x и y постоянными] =

= 4x2yez sin (x3z).

По формулам (2) находим частные производные функции z = z(x, y):

 

По формуле (3) получаем частную производную функции y = y(x, z):

.

Ответы: ;

.

 

Задача 3. Дана сложная функция z = ln(2t x2y), где x = cos3t, . Найти полную производную .

Решение. Используя формулу (4), получаем:

.

Подставив в полученный результат x = cos3t, , получим выражение полной производной  через независимую переменную t:

Ответ:

Дана функция двух переменных: z = x2xy + y2 – 4x + 2y + 5 и уравнения границ замкнутой области D на плоскости xОy: x = 0, y = –1, x + y = 3. 

Задача Поверхность  задана уравнением z <=  + xy< – 5 x<3 . Составить уравнения касательной плоскости и нормали к поверхности σ в точке М0(x<0 , y<0 , z<0 ), принадлежащей ей, если x<0 = –1, y0< = 2.

Дана функция комплексной переменной , где z = x + iy, и точка z0 = – 1 + 3i.


Тройной интеграл в сферических координатах