Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл Площадь плоской криволинейной трапеции Вычисление длины дуги кривой

Математика курс лекций, примеры решения задач

Функции нескольких переменных

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §22 лекций (обратите внимание на примеры!) и предложенный пример. Ответьте на вопросы и решите задачи.

Пример.

 Найти область определения функции

В данном случае на область определения функции накладываются ограничения из-за того, что аргумент логарифмической функции должен быть строго положителен: . Переписав это неравенство в виде  мы убеждаемся, что границей искомой области служит окружность  (с центром в начале координат, радиуса 3).

Окружность разбивает плоскость хОу на две части; несложно убедиться, что неравенству  отвечает внутренняя область, то есть круг с центром в начале координат радиуса 3 (без границы, т.к. неравенство строгое).

Вопросы и задачи

п1. Найти и показать на чертеже область определения функции

 а)  б)  в)

п2. Для данной функции найти: частные производные первого порядка; первый дифференциал; градиент; дивергенцию

 а)  ; б)

Задачи к практическому занятию

Найти частные производные второго порядка для данной функции; убедиться, что :

1. ; 2. ;  3. ; 4. ;

5. ; 6. ;  7. ; 8.

Исследовать функцию на экстремум:

9. ; 10. ;

11. ; 12.  

Отметим здесь, что при интегрировании функции z(x; y) по переменной х, так же как и при дифференцировании, считают y=const и пользуются обычными правилами вычисления интеграла. При этом пределы интегрирования могут зависеть от у (но не от х).

Точно так же можно интегрировать функцию по у в пределах, зависящих от х (или просто постоянных).

Примеры

1.

.

2.

Полученную при этом функцию можно далее интегрировать по второй переменной, в постоянных пределах:

ОДУ первого порядка.

Уравнения с разделяющимися переменными и однородные уравнения

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §§24, 25.1,3,4 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

 

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а) ; б) ; в)

 г);

 д)

а) Запишем уравнение в дифференциальной ф

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.


Функции нескольких переменных