Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл Площадь плоской криволинейной трапеции Вычисление длины дуги кривой

Математика курс лекций, примеры решения задач

Линейные уравнения и уравнения Бернулли.

Уравнения в полных дифференциалах.

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §25.5-7 и предложенные примеры. Ответьте на вопросы и решите задачи

Примеры: Даны ОДУ 1-го порядка. Определить их тип (если возможно):

 а); б); в) 

 г) ; д)

а) Уравнение дано в дифференциальной форме. Оно не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Это линейное уравнение (относительно у), в котором .

б) Легко видеть, что уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными и однородным. Представим его в нормальной форме, разрешив относительно . Очевидно, оно не является линейным относительно у, так как переменная у входит в него не как множитель первой степени. Но мы можем также разрешить это уравнение относительно . Это уравнение является линейным относительно х, причем .

в) Уравнение не является уравнением с разделяющимися переменными или однородным. Разрешим его относительно . В правую часть полученного уравнения у входит дважды: как множитель 1 степени и как множитель степени –2. Следовательно, это уравнение Бернулли относительно у, причем a=-2

г) Нетрудно убедиться, что уравнение не относится к уравнениям с разделяющимися переменными, однородным (и приводящимся к ним), линейным или уравнениям Бернулли. Проверим, не является ли оно уравнением в полных дифференциалах. Здесь

.

Найдем частные производные этих функций по у и по х соответственно:

. Очевидно, , то есть данное уравнение является уравнением в полных дифференциалах.

д) Снова проверим, не является ли данное уравнение уравнением в полных дифференциалах, поскольку к остальным известным нам типам оно не принадлежит. Здесь .

. Полученные выражения не совпадают, следовательно, это не уравнение в полных дифференциалах. Однако

 - не зависит от у, следовательно, легко подобрать интегрирующий множитель и привести данное уравнение к уравнению в полных дифференциалах (см. с.15)

Вопросы и задачи

п1. Определить, если возможно, тип уравнений:

 а) ; б) ; в) ;

 г) ; д)

Задачи к практическому занятию

1.; 2.;  3.;

4.; 5.;

6. ; 7.;

8.; 9.;

10.; 11.. 12.;

13.; 14.

Линейные уравнения с постоянными коэффициентами

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §26.1, 27.1-5. Ответьте на вопросы и выполните задания.

п1. Для данных неоднородных линейных уравнений выписать соответствующие однородные линейные уравнения и составить характеристические уравнения:

 а) ; б) ; в)

п2. По данным характеристическим уравнениям составить однородные линейные уравнения: 

 а) ; б) ; в)

Задачи к практическому занятию

Подбор частного решения для линейного уравнения с правой частью специального вида

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте лекции, §27.6. Ответьте на вопросы и выполните задания.

п1. Для каждого из данных неоднородных линейных уравнений с постоянными коэффициентами выпишите правую часть и определите, является ли она функцией специального вида. Если да, выпишите значения параметров a,b, k:

 а) ; б) ; в) ;

 г) ; д) ; е)

Задачи к практическому занятию

Задание 1.

1) Найти модуль и аргумент чисел  и . Изобразить числа на комплексной плоскости. Представить числа в тригонометрической и показательной форме.

2) Найти: а). ; б). ; в).

Решение.

1) Изобразим числа на комплексной плоскости. При этом числу  будет соответствовать точка , числу  - точка .

Для нахождения модуля и аргумента заданных чисел воспользуемся формулами:

Задание 3. Указать область дифференцируемости функции  и вычислить производную. Выделить действительную и мнимую часть полученной производной.

Решение.

Выделим действительную и мнимую часть функции :

Таким образом, получим:

Найдем частные производные  и выясним, в окрестности каких точек они существуют и непрерывны, а также в каких точках плоскости выполняются условия Коши-Римана:

Задание 5. Построить область плоскости , определяемую данными неравенствами:

 а).

 б).

а). Искомым множеством является пересечение кольца  и внутренней части угла :

б). Кривую  запишем в декартовых координатах:

Итак, .

Или ,

 - Лемниската Бернулли.

Неравенство  определяет точки, лежащие на лемнискате и внутри ее. Неравенство  определяет точки, лежащие правее прямой Искомым множеством является пересечение этих областей:

Задание 7. Найти область плоскости , в которую отображается с помощью функции  область :  плоскости .

Решение.

Для того чтобы найти образ области  при отображении , нужно найти образ границы  области , затем взять произвольную точку из области  и найти ее образ.

Правило для определения уравнения образа кривой.

Пусть в области  кривая задана . Чтобы найти уравнение образа  этой кривой в плоскости  при отображении с помощью функции , нужно исключить  и  из уравнений:

Полученное разложение содержит только правильную часть ряда Лорана.

2) Рассмотрим кольцо . В этой области запишем рассматриваемую функцию в виде . В знаменателях дробей мы записали выражения вида , где .

Так как , то  и в силу формулы (1) . Так как , то, как и в предыдущем случае, .

Следовательно, ==.

Полученное разложение содержит и правильную, и главную часть ряда Лорана.

3) Рассмотрим область . В этой области , поэтому в силу формулы (1) .

Решение.

а). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки разложим функцию в ряд Лорана по степеням :

Главная часть ряда Лорана содержит конечное число слагаемых, значит  - полюс. Порядок высшей отрицательной степени  определяет порядок полюса. Следовательно,  - полюс кратности 2. Вычет найдем, используя формулу , тогда .

б). Особой точкой функции является точка . Чтобы определить вид особой точки используем признак поведения функции в особой точке.

, значит   устранимая точка и, следовательно .

Задание 11. Вычислить интегралы от функции комплексного переменного:

а) , где   - отрезок прямой, , .

б) , где   - ломаная, , , .

в) , где   - дуга окружности , .

г) , где   - отрезок прямой , соединяющий точки   и ,  и .

Решение.

а) Так как подынтегральная функция  аналитична всюду, то можно воспользоваться формулой Ньютона-Лейбница: =.

б) Подынтегральная функция  определена и непрерывна всюду, ломаная  представляет собой кусочно-гладкую кривую, поэтому искомый интеграл сводится к вычислению двух криволинейных интегралов по координатам по формуле:

.

Задание 12. Вычислить интегралы, используя теорему Коши о вычетах:

а) ;

б) .

Решение.

а). Подынтегральная функция имеет внутри контура интегрирования две особые точки  и . Тогда .

Определим вид особых точек и найдем в них вычеты.

, следовательно

а) Сформулируем правило, позволяющее вычислять несобственные интегралы от рациональной функции действительного переменного с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси и , т.е. степень знаменателя по крайней мере на две единицы больше степени числителя, то

где  означает сумму вычетов функции  по всем полюсам, расположенным в верхней полуплоскости.

Так как подынтегральная функция  четная, то =. Построим функцию , которая на действительной оси (при ) совпадает с подынтегральной функцией . Особые точки функции  - это точки  и . Из них в верхней полуплоскости находится точка , которая является полюсом второго порядка. Вычет функции  относительно полюса  равен =. Так как в верхней полуплоскости только одна особая точка, то . Следовательно, =.

б) Сформулируем правило, позволяющее вычислить рассматриваемый несобственный интеграл с помощью теории функций комплексного переменного:

Пусть  - рациональная функция, , где  и  - многочлены степени  и  соответственно. Если функция  непрерывна на всей действительной оси, ,  - произвольное действительное число, то

;


Функции нескольких переменных