Определение производной функции, ее геометрический и физический смысл Площадь плоской криволинейной трапеции Вычисление длины дуги кривой

Математика курс лекций, примеры решения задач

Аналитическая геометрия на плоскости

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте §6 лекций и предложенные примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат

Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

(АВ): .

Приведем уравнение к общему виду:

(АВ):  x-2y-1=0

Проверка:

точка А принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 1-2×0-1=0 – верно. точка В принадлежит прямой (АВ), т.е. ее координаты удовлетворяют уравнению: 3-2×1-1=0 – верно.

Найдем точку Е пересечения прямой (АВ) с осью Ох. Имеем:, то есть yE=0. Поскольку также, координаты искомой точки должны удовлетворять уравнению прямой (АВ), то есть хЕ-2yE-1=0. Подставляя yE=0, получаем xE=1. Таким образом, .

Аналогично находим .

2. Написать уравнение прямой l1, проходящей через точку C параллельно прямой (АВ).

Решение: Уравнения параллельных прямых отличаются только свободным членом, то есть уравнение прямой будет иметь вид

l1: x-2y+c=0,

где с – некоторое число, которое мы можем найти из второго условия:

, следовательно, координаты точки С должны удовлетворять уравнению прямой l1:

-2-2×5+с=0, откуда получаем с=12.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение

l1: x-2y+12=0.

3. Написать уравнение прямой l2, проходящей через точку C перпендикулярно прямой (АВ).

Решение: Для того, чтобы написать уравнение прямой, перпендикулярной данной, достаточно поменять местами коэффициенты при х и у, изменив у одного из них знак на противоположный:

.

Коэффициент с найдем из условия , откуда с=-1.

Таким образом, окончательно имеем искомое уравнение:

l2: 2x+y-1=0.

4. Найти проекцию Р точки С на прямую (АВ)

Решение: Проекция точки С на прямую (АВ)- это основание перпендикуляра,  опущенного из точки С на прямую (АВ), то есть точка пересечения прямых (АВ) и l2: . Поскольку искомая точка принадлежит обеим прямым, следовательно, ее координаты должны удовлетворять уравнениям этих прямых. Следовательно, требуется решить систему уравнений

Решением этой системы является пара чисел x=0,6; y=-0,2. Таким образом, искомая точка Р(0,6; -0,2).

5. Написать уравнение прямой l3, проходящей через точку С под углом 45о к положительному направлению оси Ох и найти угол между прямыми (АВ) и l3

Решение: Используем уравнение прямой, проходящей через точку С(-2;5) с угловым коэффициентом k=tg45o=1:

l3: y-5=1×(x-(-2)), или

l3: х- y+7=0.

Далее, угол между прямыми равен острому углу между векторами, перпендикулярными этим прямым (или смежному если найденный угол тупой). Одним из векторов, перпендикулярных прямой, является вектор с координатами, равными коэффициентам при неизвестных в уравнении этой прямой.

Таким образом, имеем два вектора:  и . Найдем косинус угла между векторами при помощи скалярного произведения:

.

Полученное число положительно, следовательно, угол острый и окончательно имеем

.

Примеры.

Даны точки: А(1;0), В(3;1), С(-2;5)

1. Написать уравнение прямой (АВ) и найти точки пересечения этой прямой с осями координат

Решение: Составим уравнение прямой с начальной точкой А(1;0) и направляющим вектором :

(АВ): .

Приведем уравнение к общему виду:

(АВ):  x-2y-1=0

Предел последовательности

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

Напомним для начала, что числовая последовательность – это бесконечный упорядоченный набор чисел. Члены последовательности можно пронумеровать, так что каждому натуральному значению n (1,2,3,…) соответствует член последовательности (а1, а2, а3,…). Таким образом, последовательность – это функция, заданная на множестве натуральных чисел. Задают последовательность чаще всего формулой общего члена. Например, если , то первые члены этой последовательности:

Понятие предела последовательности поясним пока на простых примерах:

Предел функции

Задания для подготовки к практическому занятию

Прочитайте предложенные рассуждения и примеры. Ответьте письменно на вопросы и решите задачи.

  Предел функции f(x) на бесконечности:  вычисляют так же, как предел последовательности, учитывая только, что х может стремиться к +¥ или к -¥.  Если предел функции при х®+¥ или х®-¥ существует и конечен, это

значит, что у графика функции имеется горизонтальная асимптота. Например, график функции  имеет асимптоту у=0 при х®±¥, а график функции y=arctgx – асимптоту  при х®+¥ и  при х®-¥.

  Предел функции f(x) в точке a: – это (говоря упрощенно) число, к которому стремится значение функции, если ее аргумент стремится к а. Если функция непрерывна в точке а, это значит, что ее предел в этой точке равен ее значению: . Поэтому первым действием при вычислении предела функции является подстановка значения аргумента. Если при этом получилось конкретное число или бесконечность – это и есть искомый предел.


Функции нескольких переменных