Вычислить несобственный интеграл Вычисление длины дуги кривой Решение примерного варианта контрольной работы Функция нескольких переменных и ее частные производные Поверхностный интеграл первого рода

Математика курс лекций, примеры решения задач

Эквивалентные матрицы

1.12* Отношение эквивалентности

1.11 Эквивалентные матрицы

Нашей ближайшей целью является доказательство того, что любая матрица с помощью элементарных преобразований может быть приведена к некоторым стандартным видам. На этом пути полезным является язык эквивалентных матриц.

Пусть . Будем говорить, что матрица  л‑эквивалентна (п‑эквивалентна или эквивалентна) матрице  и обозначать  ( или ), если матрица  может быть получена из матрицы  с помощью конечного числа строчных (соответственно столбцовых или строчных и столбцовых) элементарных преобразований. Ясно, что л‑эквивалентные и п‑эквивалентные матрицы являются эквивалентными.

Вначале мы покажем, что любая матрица только лишь строчными преобразованиями может быть приведена к специальному виду, называемому приведённым. Свойства определенного интеграла Типовой расчет по высшей математике Интегрирование

Пусть . Говорят, что ненулевая строка  этой матрицы имеет приведённый вид, если в ней найдется такой равный 1 элемент , что все элементы столбца , отличные от , равны нулю, . Отмеченный единичный элемент  строки  будем называть ведущим элементом этой строки и заключать его в кружок. Иными словами, строка  матрицы  имеет приведенный вид, если в этой матрице найдется столбец  вида

.

Например, в следующей матрице

строка  имеет приведенный вид, так как . Обратим внимание на то, что в этом примере на роль ведущего элемента строки  претендует также элемент . В дальнейшем, если в строке приведённого вида есть несколько элементов, обладающих свойствами ведущего, будем выделять лишь один из них произвольным образом.

Говорят, что матрица имеет приведённый вид, если каждая её ненулевая строка имеет приведённый вид. Например, матрица

имеет приведённый вид.

Предложение 1.3 Для любой матрицы  существует л‑эквивалентная ей матрица приведённого вида.

 ◄ Во-первых, любую ненулевую строку матрицы , с помощью строчных элементарных преобразований можно сделать приведённой, т.е. если , тогда найдется конечное число строчных элементарных преобразований, применив которые к матрице , мы получим матрицу , строка которой  имеет приведённый вид.

  Действительно, если матрица  имеет вид (1.1) и , то после проведения в ней элементарных преобразований

  (1.20)

получаем матрицу

Пример 7. Построить матрицу  приведённого вида, л‑эквивалентную матрице

.

  ◄ Начиная с первой строки, указывая на каждом шаге серию проводимых элементарных преобразований, получаем

. ►

Среди всех матриц размера  выделим множество диагональных матриц , где , у которых

Матрицу  удобно записывать в так называемом блочном виде

Отношение эквивалентности.

 Пусть  – непустое множество произвольной природы и   – его декартов квадрат. Бинарным отношением на множестве  называется произвольное непустое подмножество   в . бинарное отношение на множестве   можно определить указанием всех пар , принадлежащих , говоря при этом, что элементы  и  из множества  находятся в отношении . Поскольку это не всегда удобно (например, если множество  бесконечно), то высказывание “” заменяется специальными высказываниями, зависящими от контекста, например,

.

которые читаются соответственно как “ больше ”, “ равно ”, “ влечёт ”, “ эквивалентно

 Бинарное отношение  на множестве называется отношением эквивалентности на множестве , если оно удовлетворяет условиям:

 1)  для любого ,

 2) если , тогда ,

 3) если  и , тогда .

Для отношения эквивалентности принято обозначение . Условия 1)‑3), называемые аксиомами отношения эквивалентности, в этом обозначении выглядят так:

Разложение матрицы в произведение простейших

1.14 Матричные уравнения

1.13 Разложение матрицы в произведение простейших

  Пусть  – некоторые матрицы. Введём следующее обозначение, предполагая при этом, что произведение в правой части существует,

.

Предложение 1.5. Любую ненулевую матрицу из  можно представить в виде произведения

,  (1.22)

где , – элементарные матрицы порядка , – элементарные матрицы порядка , и матрица  имеет вид (1.21).

  ◄ В силу предложения 1.4 существует конечное число строчных и столбцовых элементарных преобразований, приводящих матрицу   к виду . Так как проведение одного строчного элементарного преобразования в матрице  равносильно умножению этой матрицы слева на некоторую элементарную  матрицу порядка , а проведение в  одного столбцового элементарного преобразования равносильно умножению матрицы  справа на некоторую элементарную матрицу  порядка , получаем матричное равенство

Предложение 1.6. (1-й критерий обратимости матрицы). Для того, чтобы матрица  была обратимой, необходимо и достаточно, чтобы она была представима в виде произведения элементарных матриц.

 ◄ Достаточность. Элементарные матрицы обратимы, а произведение обратимых матриц есть матрица обратимая. Поэтому утверждение “матрица, представимая в виде произведения элементарных матриц, обратима” очевидно.

 Необходимость. Пусть матрица  обратима. Покажем, что она представима в виде произведения элементарных матриц. Прежде всего заметим, что в силу предложения 1.5 справедливо равенство (1.22), где все матрицы, входящие в это равенство, квадратные и имеют одинаковый порядок, например, . Наше утверждение будет верно, если мы покажем, что . В самом деле, матрицы

1.14 Матричные уравнения

 Уравнение, называется матричным, если в качестве неизвестного оно содержит матрицу. Простейшие матричные уравнения имеют вид

, (1.24)

,  (1.25)

, (1.26)

где  – известные матрицы, а  – неизвестные матрицы соответствующих размеров. В общем случае уравнения (1.24)-(1.26) эквивалентны некоторым системам линейных алгебраических уравнений (СЛАУ), но в том частном случае, когда матрицы   и  обратимы, теория этих уравнений проста. Прежде чем изложить её отметим, что числовая матрица  является решением уравнения (1.24), если при подстановке её в это уравнение вместо матрицы  мы получаем верное матричное равенство (и аналогично для уравнений (1.25) и (1.26)).

 Предложение 1.8. Пусть матрицы  и  обратимы, тогда уравнения (1.24)-(1.26) разрешимы при любых правых частях  соответственно, а их единственные решения определяются по формулам

Упражнения

 1. Выяснить, какие из следующих матриц равны

.

  2. Написать матрицу, транспонированную данным:

.

  3. Если матрица  имеет вид

,

то каков вид матрицы ?

 4. Матрицы  и  имеют вид:

При вычислении сложных матричных выражений целесообразно продумать порядок действий, так как от этого зависит объём вычислений.

  Пример 10. Найти матрицу , если

.

  ◄ Матрица  существует, так как порядки сомножителей согласованны

,

и имеем порядок . Благодаря свойству ассоциативности операции умножения матриц последовательность её вычисления может быть различной, например,   или .

 Напомним, что при вычислении произведения двух матриц используется скалярное умножение двух арифметических векторов порядка . Будем называть это скалярное умножение «простым», если , и – «сложным», если  (сокращённо ПСУ и ССУ). Посчитаем количества ПСУ и ССУ, которые необходимо совершить, чтобы вычислить матрицу   указанными выше способами.

Преимущество первого способа над вторым очевидно. Но есть ещё один порядок умножения, позволяющий сократить объём вычислений. Именно, .

 В самом деле,

1)  – 3 ССУ

2)  – 2 ССУ

3)  – 8 ПСУ.

  Всего: 5 ССУ и 8 ПСУ.

 Анализ трёх рассмотренных способов вычисления матрицы  позволяет дать рекомендацию: при вычислении матричных произведений с числом сомножителей больше 2-х целесообразно начинать вычисление произведений с наименьшим числом столбцов у правого сомножителя, и заканчивать вычислением произведений с наибольшим числом столбцов у правого сомножителя. ►

Часто сложное матричное выражение можно до его вычисления привести к более простому виду, используя свойства операций над матрицами.

 Пример 12. Найти матрицу

,

если

  ◄ Заметив, что

,

где

,

получаем, что

. ►

  9. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 10. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) ;

 в) .

 11. Найти матрицу , если

.

  12. Найти матрицу , если:

 а) ;

 б) .

 Введём обозначение для степени матрицы

,

И заметим, что ввиду некоммутативности операции умножения матриц

.

Из условия согласования следует, что степень матрицы определена только для квадратных матриц, а степень произведения  определена для матриц прямоугольного вида. При этом число строк матрицы  должно совпадать с числом столбцов матрицы .

При вычислении степеней матриц и матричных выражений следует попытаться среди малых степеней  найти максимально простую матрицу с тем, чтобы использовать её для упрощения вычисления матрицы .

Пример 15. Разложить матрицу  в произведение простейших. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу , если

.

 ◄ Решение основано на предложении 1.6 (см. пример 9). Приводим элементарными преобразованиями матрицу  к виду ,

.

  Матрица  обратима и удовлетворяет соотношению

.

Умножая полученное равенство справа на матрицу

,

  получаем, что

.

Теперь умножаем новое равенство на матрицу

 20. Матрицы из упражнения 19 разложить в произведение простейших.

 21. Выяснить, является ли матрица  обратимой, и в случае её обратимости найти матрицу . Матрица   имеет вид:

 а) , б) , в) .

Замечание. В следующей главе, основываясь на данном методе обращения матриц, мы построим более эффективную вычислительную схему для нахождения обратной матрицы, связанную с методом Гаусса решения систем линейных алгебраических уравнений.

Решение. Поделив каждое слагаемое числителя подынтегральной дроби на знаменатель, и используя, что интеграл от суммы функций равен сумме интегралов от этих функций, получим:

.

Первый интеграл является табличным: .

Во втором интеграле воспользуемся тем, что .

Получим следующую запись .

Если представить, что arcsinx=t, то данный интеграл будет интегралом от степени , но явно переходить к переменной t нет необходимости.

.

Таким образом, для заданного интеграла имеем:


Площадь плоской криволинейной трапеции