Вычислить несобственный интеграл Вычисление длины дуги кривой Решение примерного варианта контрольной работы Функция нескольких переменных и ее частные производные Поверхностный интеграл первого рода

Математика курс лекций, примеры решения задач

Сферические координаты.

Отнесём теперь область интегрирования  к системе сферических координат . В этой системе координат положение точки M в пространстве определяется её расстоянием r от начала координат (длина радиуса-вектора точки), углом  между радиусом-вектором точки и осью Oz и углом  между  проекцией радиуса вектора точки на плоскость Oxy и осью Ox (рис. 6). При этом  может изменятся то 0 до а   - от 0  до .

                                    Рис.6

Связь между сферическими и декартовыми координатами легко устанавливается. Из рис.6 имеем

Отсюда

           (**) Поверхностные интегралы 2 рода. Пусть через замкнутую поверхность проходит поток жидкости или тепла.

Разобьем область  на частичные области , тремя системами координатных   поверхностей:            которыми будут

                                                

 соответственно сферы с центром в на­чале координат, полуплоскости, проходящие, через ось Оz, и конусы с вершиной в начале координат и с осями, совпада­ющими с одной из полуосей Оz. Частичными областями  служат «шестигранники» (рис. 7). От­бросив бесконечно малые высших порядков, будем рассматривать шестигранник MN как прямоу­гольный параллелепипед с изме­рениями, равными:  по направ­лению полярного радиуса,  по направлению меридиана,  по направлению параллели. Для элемента объема мы получим тогда выражение       

Заменив в тройном интеграле   по формулам (**) и взяв элемент объема равным полученному выражению, будем иметь

Особенно удобно применение сферических координат в случае, когда область интегрирование  - шар с центром в начале коор­динат или шаровое кольцо. Например, в последнем случае, если радиус внутреннего шара , а внешнего , пределы интегриро­вания следует расставить так:

Если  - шар, то нужно положить

A) Пример.

 Вычислим объем шара радиуса R. В этом случае подынтегральную функцию надо взять равной 1, и мы получим

Пример. Найдем центр тяжести однородного полушара :

Две координаты центра тяжести  равны нулю, ибо полушар симметричен относительно оси Оz (тело вращения с осью Оz).

Интеграл   удобно вычислить, перейдя к сферическим координатам:

Так как объём полушара равен  то

               

Перейдём к вычислению моментов инерции тела относительно координатных осей. Так как квадраты расстояний от точки P(x, y, z) до осей Ox, Oy, Oz соответственно равны  то полагая для простоты  получим следующие формулы :

Аналогично плоскому случаю интегралы

называются центробежными моментами инерции.

Для полярного момента инерции формула имеет вид

Если тело неоднородное, то в каждой формуле под зна­ком интеграла будет находиться дополнительный множитель  - плотность тела в точке P.

Пример. Вычислим полярный момент инерции однородного шара радиуса R. В этом случае очень удобно перейти к сфери­ческим координатам. Будем иметь

где М—масса шара.


Площадь плоской криволинейной трапеции